Доказательства сочетательного закона

Доказательства сочетательного закона

Урок математики во 2-м классе на тему: «Переместительный закон умножения»

Цели:

  • Познакомить с переместительным свойством умножения, его формулировкой и записью в общем виде.
  • Формировать умение решать задачи: дополнение текста задачи, усложнение исходной задачи до составной.
  • Подготовить к изучению систематического курса геометрии.
  • Способствовать развитию умения наблюдать, воспринимать проблему, выдвигать гипотезу ее решения, делать выводы.
  • Ход урока

    I. Организационный момент.

    Есть в математике молва,
    Что она в порядок ум приводит,
    Потому хорошие слова
    Часто говорят о ней в народе.
    А нам ведь математика дает
    Для победы закалку важную
    Учится с тобою молодежь
    Развивать и волю, и смекалку.

    II. Посмотрите, какое слово записано на доске.

    Закон.

    1. Что такое закон? (Толкование по словарю С.И. Ожегова).

    Для чего нужен закон?

    С какой целью мы его изучаем?

    2. Рассмотрите выражения, записанные на доске:

    — Назовите знакомые вам выражения.

    — Что вы можете сказать о них?

    — Какой закон нам поможет найти значение данных выражений?

    — Какой формулой он записывается?

    a + в = в + a

    — Что можете сказать о других выражениях?

    — Какой вывод можно сделать?

    — Как вы думаете, какой формулой будет записан новый закон (этот вывод).

    (Я догадалась, мы сегодня познакомимся с математическим законом. Он называется “Переместительным законом умножения”).

    — Почему этот закон нужен? С какой целью мы изучаем его?

    — Постарайтесь ответить на эти вопросы сами.

    III. Работа над новой темой.

    Учитель. Да, ребята, мы сегодня познакомимся с “Переместительным законом умножения”. Почему этот закон нужен, с какой целью мы изучаем его? Постарайтесь ответить на эти вопросы сами.

    (Дети определяют лексическое значение слова “закон” по словарю С.И. Ожегова).

    Учитель. Ребята, как вы считаете, так пишется новый закон:

    17 + 23 = 23 + 17

    Дети. Нет. Это переместительный закон сложения.

    Дети. Читается он так: “Если слагаемые поменять местами, значение суммы не изменится”.

    Дети. Можно я напишу формулу: а + в = в + а

    А новый закон пишется так: а * в = в * а

    Я могу доказать.

    Например: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 8 + 8

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Законы арифметики

    Разберем основные законы арифметики, которые иначе называют свойствами сложения и умножения.

    Переместительный закон сложения

    От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
    (Значение суммы при перестановке слагаемых не меняется.)

    Сочетательный закон сложения

    Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые.
    (Порядок выполнения действий при вычислении суммы не влияет на конечный результат.)

  • 6 + 4 + (3 + 2) = 6 + (4 + 3) + 2 = (6 + 4) + 3 + 2 = 15

Обратите внимание, этот закон действует только, если все действия в примере сложение !

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.
(Значение произведения при перестановке множителей не меняется.)

Сочетательный закон умножения

Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители.
(Порядок выполнения действий при расчёте произведения не влияет на конечный результат.)

По традиции пример:

  • 2 · (4 · 3) = (2 · 4) · 3 = 8 · 3 = 24
  • Распределительный закон умножения относительно сложения

    Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

    • 8 · (6 + 5) = 8 · 6 + 8 · 5 = 48 + 40 = 88
    • math-prosto.ru

      Доказательства сочетательного закона

      Операции сложения и умножения действительных (а значит, в том числе и натуральных, и целых) чисел обладают следующими свойствами:

      1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
      2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
      3. ab = ba (переместительный закон умножения).
      4. (ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
      5. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
      6. Рассмотрим эти свойства (законы) более подробно.

        Переместительные законы также называются также коммутативными. Их смысл в том, что результат не меняется при перестановке слагаемых или сомножителей.

        Переместительный (коммутативный) закон сложения : a + b = b + a . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

        Переместительный (коммутативный) закон умножения : a · b = b · a . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

        Сочетательные законы также называют ассоциативными. Их смысл в том, что результат не меняется при группировке слагаемых или сомножителей.

        Сочетательный (ассоциативный) закон сложения : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

        Сочетательный (ассоциативный) закон умножения : ( a · b ) · c = a · ( b · c ) = a · b · c . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

        Распределительные законы также называют дистрибутивными. Их смысл для операции произведения заключается в том, что операцию произведения можно выполнить по частям – для каждого слагаемого, входящего во второй сомножитель.

        Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения : c · ( a + b ) = c · a + c · b .

        Также существует распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания : c · ( a – b ) = c · a – c · b .

        Переместительные законы не действуют в отношении вычитания и деления, так как для этих операций порядок следования аргументов (уменьшаемое и вычитаемое, делимое и делитель) влияет на получаемый результат.

        uclg.ru

        Законы сложения целых чисел.

        Законы сложения целых чисел нужны для того, чтобы упростить сложения чисел. Ведь, прибавить все подряд числа не всегда легко, иногда лучше их сгруппировать. Для этого и нужны законы сложения целых чисел.

        Переместительный закон сложения.

        Правило и формула переместительного закона сложения.

        Сложение двух целых чисел не зависит от их порядка.
        a+b=b+a

        Пример:
        Если мы сложим 3+5=8 или 5+3=8 результат сложения не измениться.
        Если мы сложим (-3)+7=4 или 7+(-3)=4 результат сложения не измениться.

        Сочетательный закон сложения.

        Правило и формула сочетательного закона сложения.

        К сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, и результат не измениться.
        (a+b)+c=a+(b+c)

        Рассмотрим пример:
        (3+5)+9=8+9=17
        3+(5+9)=3+14=17
        От сочетания слагаемых сумма не поменялась.

        Делаем вывод на основе переместительного и сочетательного законов:

      7. Можно слагаемые менять местами.
      8. Записывать пример со слагаемыми без скобок. Скобки в сложении нужны для удобства восприятия примера.
      9. Записывать пример со слагаемыми со скобками, для более простого вычисления суммы.

      a+b+c+d=(c+d)+(a+b)

      Вопросы по теме:
      Какие законы сложения вы знаете?
      Ответ: переместительный и сочетательный закон.

      Можно ли менять местами слагаемые?
      Ответ: да по переместительному закону.

      Обязательно ли при сложении числа заключать в скобки?
      Ответ: нет.

      Пример №1:
      Вычислите, применяя законы сложения: а) 12+479+88 б) 3+154+16

      Решение:
      а) 12+479+88=(12+88)+479=100+479=579
      б) 3+154+16=3+(154+16)=3+170=173

      Пример №2:
      Примените переместительный закон сложения: а) 4+5 б) 1298+34

      Решение:
      а) 4+5=5+4=9
      б) 1298+34=34+1298=1332

      Пример №3:
      Примените сочетательный закон сложения: а) 2+(-4+5) б) (-1+3)+(-8)
      Решение:
      а) 2+(-4+5)=(2+(-4))+5=(-2)+5=3
      б) (-1+3)+(-8)=-1+(3+(-8))=-1+(-5)=-6

      Пример №4:
      Вычислите, применяя законы сложения: а) 23+((-23)+50) б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2
      Решение:
      а) 23+((-23)+50)=(23+(-23))+50=0+50=50
      б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2=(-2+2)+(-4+4)+(-8+8)=0

      tutomath.ru

      Законы умножения

      Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

      1. Переместительный закон.

      Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство:

      Это следует из определения умножения рациональных чисел. В самом деле, мы берем произведение абсолютных величин сомножителей, а оно не зависит от порядка, в котором берем эти абсолютные величины.

      Знак произведения тоже определяем независимо от того, в каком порядке следовали сомножители. Мы смотрим только, одинаковые ли знаки у обоих сомножителей или различные.

      Переместительный закон справедлив для произведения любого числа сомножителей. Так, например, перемножая числа –2, 3, 5 и –8 в любом порядке, мы получим одно и то же число 240. В самом деле, в каком бы порядке мы ни перемножали абсолютные величины сомножителей, получим одно и то же число 2 * 3 * 5 * 8 = 240. Знак произведения получим, подсчитав количество отрицательных сомножителей независимо от порядка, в каком они расположены. В нашем примере число 240 следует взять со знаком +, так как в произведении содержится два отрицательных сомножителя.

      2. Сочетательный закон.

      При умножении любых рациональных чисел остается в силе сочетательный закон умножения.

      Для любых трех рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

      В самом деле, в выражении a(bc) мы должны абсолютную величину a умножить на произведение абсолютных величин b и c , в выражении (ab)c мы должны произведение абсолютных величин a и b умножить на абсолютную величину c . Но абсолютные величины — это неотрицательные числа (то есть положительные или равные нулю), а для таких чисел сочетательный закон верен.

      Значит, абсолютная величина обеих частей равенства одна и та же. Легко также убедиться, что и знак обоих произведений будет один и тот же, каковы бы ни были знаки чисел a, b и с (оба произведения положительны, если среди чисел a, b и с нет отрицательных или два из них отрицательны; оба произведения отрицательны, если одно из этих чисел или все три отрицательны; оба произведения равны нулю, если хотя бы одно из чисел a, b или c равно нулю).

      Таким же образом можно убедиться в справедливости сочетательного закона для произведения любого числа сомножителей.

      Пример . Это произведение нетрудно вычислить, перемножив сначала второй и третий сомножители: 3. Распределительный закон.

      Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

      Убедимся в этом на примерах.

      1) [2 + (–3)] * 4 = 2 * 4 + (–3) * 4.

      [2 + (–3)] * 4 = (–1) * 4 = –4;
      2 * 4 + (–3) * 4 = 8 – 12 = –4.

      2) [(–3) + 5] * (–6) = (–3) * (–6) + 5 * (–6).

      [(–3) + 5] * (–6) = 2 * (–6) = –12;
      (–3) * (–6) + 5 * (–6) = 18 – 30 = –12.

      Распределительный закон имеет место при умножении на какой-либо множитель суммы любого числа слагаемых.

      Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

      Пользуясь переместительным законом умножения, в последнем примере можно переставить сомножители, тогда получим следующее:

      Чтобы умножить какое-либо число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

      Отметим следующие два свойства умножения:

      1. Умножение произведения.
      Чтобы умножить произведение нескольких чисел на число, можно умножить на это число один из сомножителей, оставив остальные без изменения.

      [4 * (–3) * 5] * (–2) = (–60) * (–2) = 120
      и
      [4 * (–2)] * (–3) * 5 = (–8) * (–3) * 5 = 120.

      2. Умножение на произведение.

      Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и так далее до конца.

      4 * [5 * (–2) * 3] = 4 * (–30) = –120
      и
      (4 * 5) * (–2) * 3 = 20 * (–2) * 3 = (–40) * 3 = –120.

      Эти последние свойства вытекают из законов умножения

      mthm.ru

    admin

    Обсуждение закрыто.